Contoh Makalah Pel Matematika Tentang Himpunan

JASA PEMBUATAN ADMINISTRASI BP/BK DI SEKOLAH DAN PTK/BK

HUBUNGI KAMI DI 081222940294

WA: 081222940294

BBM: 5AA33306

Untuk Detail Harga Administrasi Dan Perangkat BK Klik Disini

Untuk Pilihan Judul Dan detail Harga PTK/BK Klik Disini

Atau Cek FB Kami Disini

BAB I

PENDAHULUAN

A.   Latar Belakang

      Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu dengan buku panduan yang sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar merasa bosan untuk belajar matematika.

      Matematika sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari.

      “Himpunan”. Satu kata penuh pertanyaan. Beberapa orang belum mengetahui apa arti sebenarnya dari himpunan sehingga kadang-kadang orang itu salah mengartikannya. Sebenarnya kata himpunan itu erat kaitannya dengan pengelompokkan . Beberapa orang yang telah mengetahui kaitan himpunan dengan pengelompokkan ini akhirnya bisa menyimpulkan sendiri meskipun belum biasa mendeksripsikannya secara jelas.

      Seringkali masalah ini akhirnya berhubungan dengan masalah sampah juga. Ketika suatu tempat sampah tertulis “Sampah basah”, beberapa orang masih saja salah membuang sampah di tempat yang tidak sesuai dengan labelnya. Mereka tidak mempedulikan arti dari himpunan “Sampah basah” itu. Mereka belum mengerti secara jelas karena mereka belum menguasai konsep dasarnya, yaitu himpunan. Kita harus melakukan 3M ,Mulai dari diri sendiri, Mulai dari kecil/dini, dan Mulai dari sekarang.

      Beranjak dari hal itu , untuk meningkatkan kesadaran kita sebagai mahasiswa Kesehatan Masyarakay, kita harus memperhatikan pemilahan atau pengelompokkan sampah yang baik dan benar sehingga di masa yang akan datang kita bisa menerapkannya juga kepada orang lain atau bisa bermanfaat bagi semua orang. Mengingat akan penting dan manfaatnya himpunan dala kehidupan sehari-hari terutama dalam dunia kesehatan maka penulis bermaksut menulis makalah tentang “Himpunan”.

B.   Rumusan Masalah

1.    Menjelaskan tetang pengertian Himpunan?

2.    Menyebutkan jenis-jenis himpunan?

3.    Menjelaskan cara penulisan himpunan?

4.    Menjelaskan operasi dan hokum aljabar pada himpunan?

5.    Mejabarkan manfaat mempelajari himpunan dalam kehidupan sehari-hari?

6.    Menjabarkan penerapan himpunan?

C.   Tujuan Penulisan

      Penulisan makalah ini bertujuan untuk mengetahui dan menjelaskan tentang Himpunan dan manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari.

BAB II

PEMBAHASAN

A.   Pengertian Himpunan

     Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Gerorg Cantor  dianggap sebagai  Bapak teori himpunan. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan. Istilah didefinisikan dengan jelas dimaksukkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak.

Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

      Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan.Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang  belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya.

      Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang. Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

B.   Jenis-Jenis Himpunan

1.    Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Syarat :

A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B

A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

Contoh :

Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka  B ⊂ A

Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.

Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

2.    Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.

Syarat :

Himpunan kosong = A atau { } Himpunan kosong adalah tunggal

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.

Sebab : { 0 } ≠ { }

Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

3.    Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.

4.    Himpunan Sama (Equal)

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.dinotasikan dengan A=B

Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.

Contoh :

A ={ c,d,e}    B={ c,d,e }   Maka A = B

Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

5.    Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.

Contoh  C = {1, 3, 5, 7}   dan  D = {2, 4, 6}  Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.

Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama

6.    Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC . Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis :

AC = {x│x Є U, x Є A}

7.    Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.

Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

Contoh :

A = { w,x,y,z }→n (A) = 4

B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4

Maka n (A) =n (B) →A≈B

Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.

C.   Cara Penulisan Himpunan

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

1.    Dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini disebut juga cara Tabulasi.

Contoh:     A = {a, i, u, e, o}

B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

2.    menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.

Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5

A = bilangan asli kurang dari 5

3.    Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggotanya.

Contoh Soal :

Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :

A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

Penyelesaian :

A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

Dengan menulis tiap-tiap anggotanya A = {2, 3, 4, 5}

Dengan menulis sifat-sifatnya A = {x | 1 < x <  Asli}Î6, x 

4.    Himpunan juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn)

Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam segiempat tersebut.

D.   Operasi Pada Himpunan

1.    Gabungan

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.  Dinotasikan A  B Notasi : A   B = {x | x Є A atau  x Є B}

2.    Irisan

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan B.

Notasi : A   B = {x | x Є  A dan x Є B}

3.    Komplemen

Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A. Dinotasikan Ac

    Notasi : Ac = {x | x Є S dan  x Є A} atau

4.    Selisih

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A. Dinotasikan A-B

Notasi : A – B = {x | x Є A dan  x Є B}

5.    Hasil Kali Kartesius ( cartesion Product )

Hasil kali kartesius himpunan A dan B, dinotasikan A x B, adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B

Secara matematis dituliskan : A x B = {(a,b)| a Є A dan b Є B}

E.   Hukum Aljabar Himpunan

      Hukum-hukum pada himpunan dinamakan Hukum –hukum aljabar himpunan. cukup banyak  hukum yang terdapat pada aljabar himpunan , tetapi disini hanya dijabarkan  11 saja. Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil seperti a (b+c) = ab + ac  , yaitu hukum distributif.

1.   Hukum identitas:     A = A     A U = A	2.   Hukum null/dominasi:     A =     A U = U
3.   Hukum komplemen:     A  = U     A  =	4.   Hukum idempoten:     A A = A     A A = A
5.   Hukum involusi:     = A	6.   Hukum penyerapan (absorpsi):     A (A B) = A     A (A B) = A
7.   Hukum komutatif:     A B = B A     A B = B A	8.   Hukum asosiatif:     A (B C) = (A B) C     A (B C) = (A B) C
9.   Hukum distributif:     A (B C) = (A B) (A C)     A (B C) = (A B) (A C)	10. Hukum De Morgan:      =      =
11.  Hukum 0/1      = U      = Æ

Terlihat bahwa hukum- hukum yang berlaku pada himpunan merupakan analogi hukum –hukum logika , dengan operator  menggantikan L (dan) , sedangkan operator   menggantikan V ( atau ).

1.    Prinsip inklusi dan eksklusi

      Beberapa banyak anggota di dalam gabungan dua himpunan A dan B. penggabungan dua buah himpunan menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan A dan himpunan B. himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen yang sama. Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah |A  | . setiap unsure yang sama itu telah dihitung dua kali , sekali pada |A| dan sekali pada |B|, meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen di dalam |A  | .  karena itu , jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen di masing-masing himpunan dikurangi jumlah elemen di dalam irisannya, atau  |A| + B | - |A  |  

      Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi –eksklusi . sejumlah lemma dan teorema yang berkaitan dengan prinsip ini dituliskan sebagai berikut:

a)    Lemma 2.1. misalkan A dan B adalah himpunan berhingga yang saling lepas (disjoint) , maka |A| + B |

b)   Teorema 2.3 misalkan A dan B adalah himpunan berhingga maka  berhingga dan |A| + B | - |A  |  

c)    Dengan cara yang sama , kita dapat menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup |A| + B | - 2 |A  |.

Contoh :

Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5

Penyelelsaian :

Misalkan : A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3

B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5

A  himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5 yaitu 15 ).

Ø  Yang ditanyakan adalah

            Terlebih dahulu kita harus menghitung

            |A| = [100/3] = 33           | B | = [100/5]= 20         |A  | = [100/15] = 6

Untuk mendapatkan |A| + B | - |A  | = 33 + 20 – 6 = 47

Jadi ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5 .

      Prinsip inklusi- eksklusi dapat dirampatkan untuk operasi lebih dari dua buah himpunan. untuk tiga buah himpunan A, B, dan C berlaku teorema berikut:

Teorema 2.4 Misalkan A , B , dan C adalah himpunan yang berhingga maka berhingga dan

Sedangkan untuk  empat buah himpunan maka

|A ∪ B ∪ C ∪ D| = |A| + |B| + |C| + |D|  – |A ∩ B| – |A ∩ C| – |A ∩ D| – |B ∩ C| – |B ∩ D| – |C ∩ D|  + |A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C ∩ D |– |A∩ B ∩ C ∩ D|  

Contoh :

Sebanyak 1232 orang mahasiswa mengambil kuliah bahasa inggris , 879 orang mengambil kuliah bahasa perancis , dan 114 mengambil kuliah bahasa jerman. Sebanyak 103 orang mengambil kuliah bahasa inggris dan perancis, 23 orang mengambil kuliah bahasa inggris dan jerman , dan 14 orang mengambil kuliah bahasa perancis dan bahasa jerman. Jika 2092 orang mengambil paling sedikit satu buah kuliah bahsa inggris, bahasa jerman ., dan perancis, berapa banyak mahasiswa yang mengambil kuliah ketiga buah bahasa tersebut?

     Penyelesaian :

Misalkan :

I = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa inggris.

P =himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa perancis.

J  = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa jerman.

Maka ,

|I | = 1232   |P | = 879   |J| = 114    | I P |  = 103            

| I J |  = 23   | P J |  = 14  dan  |I ∪ P ∪  J| = 2092

Penyulihan nilai- nilai diatas pada persamaan

|I ∪ P ∪  J| = |I | +  |P | + |J| -  | I P |  - | I J | - | P J |  +  |I P   J|

2092      = 1232 + 879 + 114 - 103 - 23 -14 + |I P   J|

Sehingga |I P   J| = 7

Jadi ada  7 orang mahasiswa yang mengambil ketiga buah kuliah bahasa inggris , perancis dan jerman

2.    Pembuktian Proporsi Himpunan

      Proposisi himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan. Pernyataan dapat berupa kesamaan (set identity), misalnya A (B C) = (A B) (A C)  adalah kesamaan himpunan atau dapat berupa implikasi seperti “ jika A B =  dan   (B C), maka selalu berlaku bahwa A Terdapat beberapa metode untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan. Untuk suatu proposisi himpunan . untuk suatu proposisi himpunan kita dapat membuktikannya dengan beberapa metode yang menghasilkan kesimpulan yang sama. Di bawah ini dikemukakan beberapa metode pembuktian proposisi perihal himpunan.

a.    Dengan diagram venn

Buatlah diagram venn untuk bagian ruas kiri kesamaan dan diagram venn untuk ruas kanan kesamaan. Jika diagram venn keduanya sama beraarti kesamaan tersebut benar. Kelebihan metode ini yaitu pembuktian dapat dilakukan dengan cepat sedangkan kekurangannya hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini lebih mengilustrasikan dibandingkan membuktikan fakta. Dan banyak matematikawan tidak menganggap sebagai pembuktian valid untuk pembuktian secara formal. Oleh karena itu pembuktian dengan diagram venn kurang dapat diterima.

b.    Pembuktian dengan tabel keanggotaan

Kesamaan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan. Kita menggunakan angka 1 untuk menyatakan bahwa suatu elemen adalah anggota himpunan , dan 0 untuk menyatakan bukan himpunan. (nilai ini dapat dianalogikan dengan true dan false).

Contoh : Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C) tabel keanggotaan untuk kesamaan tersebut adalah seperti dibawah ini. Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama maka kesamaan tersebut benar.

A	B	C	BC	A (BC)	AB	AC	(AB) (AC)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

c.    Pembuktian dengan aljabar himpunan

      Aljabar himpunan mengacu pada hukum- hukum aljabar himpunan, termasuk di dalamnya teorema-teorema ( yang ada buktinya ), definisi suatu operasi himpunan dan penerapan prinsip dualitas.

Contoh :

Misalkan A dan B himpunan . buktikan bahwa A  (B - A) = A Penyelesaian :

A  (B - A) = A  (B  Ac)                 definisi operasi selisih

                    = (A B)  (A  Ac)           hukum distributif

                    = (A B)                      hukum komplemen

                    = A B                         hukum identitas         

d.    Pembuktian dengan menggunakan definisi

      Metode ini digunakan untuk membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk kesamaan , tetapi proposisi yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( ).

Langkah-langkah untuk membuktikan bahwa X   Y  adalah sebagai berikut:

·         Ambil sembarang x  X

·         Dengan langkah-langkah yang benar tunjukkan bahwa x  Y

Oleh karena itu x diambil sembarang dalam X , maka berarti bahwa setiap anggota X merupakan anggota Y atau  X   Y.  Pembuktian yang melibatkan kesamaan himpunan (X = Y) haruslah melalui  2 arah sesuai dengan definisinya , yaitu X   Y   dan Y   X.

e.    Pembuktian dengan menggunakan sifat keanggotaan.

Contoh :

Bagaimana membuktikan A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)?

          x ∈A ∪ (B ∩ C)

      ⇔x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C)

      ⇔x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)

      ⇔(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)

          (hukum distributif untuk logika matematika)

     ⇔x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∪ C)

     ⇔x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

f.     Argument dan diagram venn

      Banyak statemen verbal dapat dialihkan menjadi statemen himpunan. Statemen ini dapat digambarkan dengan diagram Venn. Oleh karena itu, diagram Venn acap kali digunakan untuk menganalisa validitasnya suatu argumen.

Contoh :

Pandang asumsi SI, S2, S3 berikut :

S1  : Guru adalah orang yang tenteram hidupnya

S2  : Setiap raja merupakan orang kaya

S3  : Tidak ada orang kaya yang juga tenteram hidupnya

Kita hendak menggambarkan asumsi di atas dalam diagram Venn.

Himpunan guru termuat dalam himpunan orang yang tentram hidupnya (asumsi SI). Himpunan orang tenteram hidupnya akan saling lepas dengan himpunan orang kaya (asumsi S3). Himpunan raja termuat seluruhnya di dalam himpunan orang kaya (asumsi S2).

F.    Manfaat Mempelajari Hmpunan dalam Kehidupan Sehai Hari

      Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:

1.    Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.

2.    Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.

3.    Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.

4.    Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.

5.    Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.

6.    Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

G.   Contoh Penerapan Soal Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Berikut ini merupakan beberapa contoh kasus teori himpuanan dalam kehiupan sehari-hari.

Soal:

1.    Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 24 orang gemar musik 30 orang gemar olah raga dan 16 orang gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang gemar musik saja dan yang gemar olahraga saja?

2.    Dari survey 100 orang warga terdapat 60 orang gemar membaca 50 orang gemar menulis, 45 orang gemar melukis, 40 orang gemar melukis dan menulis, 35 orang gemar membaca dan melukis, 30 orang gemar ketiganya. Tentukan :

a)  Orang yang gemar melukis dan menulis saja

b)  Orang yang gemar membaca dan melukis saja

c)  Orang yang gemar membaca saja

d)  Orang yang gemar menulis saja

e)  Orang yang gemar melukis saja

f)   Orang yang tidak suka ketiganya

Penyelesaian:

1.    Perhatikan dalam soal tersebut terdapat dua himpunan siswa  yaitu siswa yang gemar musik dan siswa yang gemar olahraga. Siswa yang gemar keduanya sebanyak 16 orang. Dalam konsep himpunan, anggota yang gemar keduanya merupan anggota irisansehingga dapat dicari siswa yang gemar musik saja dan siswa yang gemar olahraga saja.

Karena irisan siswa yang gemar keduanya sebanyak  16 orang sehingga siswa yang hanya gemar Musik dan olah raga saja yaitu :

Musik = 24 – 16 = 8

Olahraga = 30 – 16 = 14

Dengan demikian  himpunan semestanya :

S = 8 + 14 +16 = 40 siswa.

2.    Dari soal nomor 2, terdapat tiga himpunan yang berbeda yaitu yang gemar membaca, menulis dan melukis. Untuk menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu kita  cari irisan ketiganya. Sehingga dapat disimpulkan :

Misal : B = Membaca, N = Menulis, L = Melukis

a)    Orang yang gemar melukis dan menulis saja: 40 – 30 = 10 orang

b)   Orang yang gemar membaca dan menulis saja: 35 – 30 = 5 orang

c)    Orang gemar membaca saja: 60 – 30 – 5 = 25 orang

d)   Orang yang gemar menulis saja: 50 – 30 – 10 = 10 orang

e)    Orang yang gemar melukis saja: 45 – 45 = 0, maka orang yang gemar melukis saja merupakan himpunan kosong

f)     Orang yang tidak suka ketiganya: 100 – 25 – 30 – 5 – 10 – 10 = 20 oran

BAB III

PENUTUP

A.   Kesimpulan

      Ada beberapa hal yang dapat disimpulkan dalam pembuatan makalah ini, diantaranya adalah:

1.    Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan

2.    Jenis-jenis terdiri dari himpunan bagian, himpunan kosong, himpunan semesta, himpunan sama, himpunan lepas, himpunan komplement, dan himpunan ekuivalent.

3.    Himpunan dapat ditulis dengan menyebutkan semua anggota, menyebutkan syarat-syarat anggota, notasi pembetuk himpunan, dan secara grafik

4.    Operasi pada himpudan terdiri dari gabungan, irisan, komplement, selisih, dan hasil kali kartesius

5.    Pembuktian proporsi himpunan dapat menggunakan diagram venn, tabel keanggotaan, aljabar himpunan, dan definisi

7.    Manfaat mempelajari himpunan adalah membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren, meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif, menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri, memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis, meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan, mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

B. Saran

      Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk kehidupan sehari-hari. Baik dalam bidang ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin ilmu yang lainya. Oleh karena itu penulis menyarankan agar kita lebih serius dalam mempelajari matematika dan jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari kehidupan kita.